SOAL DAN PEMBAHASAN STRUKTUR ALJABAR
SOLA DAN PENYELESAIAN STRUKTUR ALJABAR
LINK DOWNLOAD DI BAWAH
1.Himpunan
SOLA DAN PENYELESAIAN STRUKTUR ALJABAR
LINK DOWNLOAD DI BAWAH
1.Himpunan
Contoh 1
Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x
untuk
setiap x,y Î Z+. Tunjukan apakah
operasi binernya tertutup, komutatif dan
assosiatif.
Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+
b. Komutatif
x, y Î Z+, misalkan x = 2 dan
y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif
c. Assosiatif
x, y, z Î Z+, misalkan x = 2 dan
y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif
Contoh 2
Jika A, B Î R didefinisikan A = { x | 1 £ x £ 4} = { 1, 2, 3, 4} dan
B = { x | 2 £ x £ 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B ¹ B x A !
Penyelesaian :
Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2),
(4,3)}
Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),
(3,4)}
2.semigrup dan monoid
Contoh 1
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi
biner:
a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian:
1. Tertutup
Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka
a * b = a + b + ab * N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka
(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b +
ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c
+ bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c).
Jadi, (N, *)
merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka
semigrup (S, *)
disebut juga semigrup abel.
Contoh 2
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G
merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut
+
|
-1
|
1
|
-1
|
-2
|
0
|
1
|
0
|
2
|
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi
penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0,
2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1}
tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.
3.Dasar2 grup
Contoh 1
tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap
penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0,
1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi
syarat-syarat
suatu Grup :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 0, 2, 4 Î H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 Î H,
maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 Î H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0,
terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
· misalkan
0 Î G
0 + e = e + 0 = 0
· misalkan
2 Î G
2 + e = e + 2 = 2
· misalkan
4 Î G
4 + e = e + 4 = 4
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
· Ambil
sebarang nilai dari G, misalkan 0 Î G, pilih 0 Î G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
· Ambil
sebarang nilai dari G, misalkan 2 Î G, pilih 4 Î G,
sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
· Ambil
sebarang nilai dari G, misalkan 4 Î G, pilih 2 Î G,
sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
maka G ada unsur balikan atau invers
e. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 4 Î H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
Sehingga :
4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan atau identitas
f. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 Î H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga :
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e
maka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup,
sehingga (H, +)
merupakan Subgrup dari (G, +).
Contoh 2
tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap
penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0,
1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat
suatu Grup :
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 Î H
didapat : 2 + 3 = 5
5 ÎG tetapi 5 ÏH,
sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)
Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G =
{0, 1, 2, 3, 4, 5}
4.Grup siklik
Contoh 1
Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun
oleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.
Contoh 2
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).
Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n | n Î Z}
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
[1] = {(1)n | n Î Z}
= {(1)0, (1)1, (1)2, …}
= {1}
generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
[-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
[1] = {1}.
5.Grup faktor
Contoh 1
Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan
Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.
Penyelesaian :
(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3},
generatornya 0, 1, 2, dan 3
Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}
1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}
2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}
3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}
Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}
H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}
H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}
H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}
Sehingga :
0 + H = H + 0= {0,2}
1 + H = H + 1= {1,3}
2 + H = H + 2 = {0,2}
3 + H = H + 3 = {1,3}
Maka koset kiri = koset kanan
Contoh 2
Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dan
koset kanan dari 3Z dalam Z.
Penyelesaian :
Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan
dan operasi perkalian.
Diketahui :
Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}
3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
a. Terhadap operasi penjumlahan
Koset kiri :
-2 + 3Z = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}
-1 + 3Z = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}
0 + 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
1 + 3Z = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}
2 + 3Z = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kanan:
3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}
3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}
3Z + 0 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
3Z + 1 = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}
3Z + 2 = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kiri = Koset kanan
b. Terhadap operasi perkalian
Koset kiri :
-2 . 3Z = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}
-1 . 3Z = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}
0 . 3Z = {0}
1 . 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
2 . 3Z = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}
Koset kanan:
3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}
3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}
3Z . 0 = {0}
3Z . 1 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
3Z . 2 = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}
Koset kiri = Koset kanan
6.RING
Contoh 1
Buktikan
bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti
:
Untuk
membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu
fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat
tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang
sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan
f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n.
Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil
sebarang x, y dalam Z maka:
x =
nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh
karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena
f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
Contoh 2
.Didefinisikan
Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring
bagian dari R
Jawab:
Bila
didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa
Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena
Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak
kosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
dan
terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Karena
ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi
pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu
dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i │a, b dalam R }
C = { a + b i │a, b dalam R }
Karena
bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 )
mengandung Q, seperti juga C mengandung R.
7.subring
Contoh 1
Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu
Ring.
1. S ¹ f, syarat terpenuhi karena S = {0, 2}
2. a - b Î S
Misalkan 0, 2 Î S
2 – 0 = 2
2 – 2 = 0
0 – 2 = 2
Sehinigga 0, 2 Î S
3. a . b Î S
Misalkan 0, 2 Î S
2 . 0 = 0
2 . 2 = 0
0 . 2 = 0
Sehingga 0 Î S
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.
Contoh 2
Diketahui R ring komutatif dan
himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan
I X = { I ideal di R I X ⊆I } = dan (X)=
∩ Jika A,B ⊆ R , maka (A) ∩(B)
merupakan
I∈IX.
ideal pada (A) .
Bukti.
Karena (A),(B) ideal-ideal di R,
maka (A) ∩ (B) juga merupakan ideal di R. Karena
berlaku hubungan (A)∩ (B) ⊆ (A) , maka untuk setiap x ∈(A)∩(B) dan r ∈(A)selalu
berlaku rx =xr∈(A) ∩(B) . Jadi, terbukti bahwa (A) ∩(B) merupakan ideal pada A .
8.ring faktor & homomorfisma
Contoh 1
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun
oleh 2 dalam Z6.
Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :
Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu
:
K = {0, 2, 4}
K + 1 = {1, 3, 5}
Sehingga Z6/K = {K, K + 1}
Tabel 8.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)
+
|
k
|
K+1
|
k
|
k
|
k-1
|
K+1
|
K+1
|
k
|
.
|
k
|
K+1
|
k
|
k
|
k
|
K+1
|
k
|
k-1
|
Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian
unsur-unsur dari Z6/K.
Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K
dengan syaratsyarat
suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K.
Adapun syaratsyaratnya
sebagai berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
Sehingga K + 1 Î Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)]
[K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)]
(K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)
K + (1 + 1) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K +
1)] = K
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap
penjumlahan (+) di Z6/K
" K + 1 Î Z6/K
(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1
Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap
penjumlahan (+) di Z6/K
" K + 1 Î Z6/K
(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K
(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) =
K + 0 = K
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
K + (K + 1) = (K + 1) + K
K + (0 + 1) = K + (1 + 0)
K + 1 = K + 1
Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga K Î Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)]
[K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)]
(K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)
K + (0 . 1) = K + (0 . 1)
K = K
Sehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K +
1)] = K
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap
perkalian (.) di Z6/K
" K Î Z6/K
(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K
K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)
di Z6/K
" K, K + 1 Î Z6/K
Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1
a. (b + c) = (a . b) + (a . c)
K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K +
1)]
K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]
K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]
K + (0 . 0) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K
. (K + 1)] = K
Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring
Faktor
Contoh 2
Tunjukan apakah f : Z èR dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma
Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa " a, b Î R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), " a, b Î R
(a + b) = (a) + (b)
a + a = a + b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), " a, b Î R
(a . b) = (a) . (b)
a . b = a . b
Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b)
= f(a) . f(b) maka
f : Z èR untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma
Ring.
9.ring polinom
Contoh 1
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimana
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x +
2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan
g(x) polinom pembagi.
