METODE NUMERIK

MAKALAH METODE NUMERIK

 

MAU RUMUS DAN CONTOH SOAL SILAHKAN DOWNLOAD

BAB I

PENDAHULUAN

Beberapa defenisi metode numerik yang dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numeric adalah teknik maslah matematikadiformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aretmetika. Tredapat jenis metode numerik, namun pada dasarnya masing- masing metode tersebut mempunyai karakteristik umum, yaitu selalu mencakup kalkulasi aretmetika. Jadi metode numeric adalah suatu teknik untuk menformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan opersi aretmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, bagi, dan kali.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan pada insinur dan ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk beberapa integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Di bidang termodinamika statistic misalnya, model Debye untuk menghitung kapasitas pana sebuah benda pejel memuat fungsi berikut

                       

Oleh karena  tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, secara analitik integrasi numeric harus digunakan untuk mendapatkan hampiran nialai-nilai .

Contoh lainintegral tentu yang tidak dapat diperoleh secara analitik adalah dalam perhitungan distribusi normal

                        .

Mislanya banyak contoh-contoh integral tentu, seperti

                        , dan ,

yang dapat dihitung secara analitik dan memerlukan perhitungan secara numeric sebagai hampirannya.

            Pada makalah ini akan dibahas beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung berbagai hampiaran suatu integral tertentu. Rumus-rumus integrasi numeric untuk integral f(x) pada interval [a,b] didasarkan pada perhitungan nialai-nilai f(x) di berhingga titik sampel pada [a,b].

            Integral numerik sering disebut juga sebagai quadrature; integrasi numerik disebut sebagai integrasi dgn menjumlah quadrature.

            Penurunan rumus-rumus kuadratur sering di dasarkan pada polynomial-polinomial interpolasi. Suatu polynomial tunggal  berderajat  yang melalui N+1 titik yang memiliki basis  yang berderajat sama satu dengan lainnya. Apabila polynomial ini digunakan sebagai hampiran fungsi f(x) pada interval [a,b], maka integral f(x) pada [a,b] dihampiri oleh integral pada [a,b] dan rumus yang diperoleh dikenal sebagai Rumus Kuadratur Newton-Cotes. Apabila titik sampel  dan  dipakai, maka  rumus kuadratur itu disebut Rumus Newton-Cotes Tertutup.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Aturan Trapesium

Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:

           

1.      Hampiran Jumlah Kiri

Secara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu variabel. Untuk menghitung menghitung  dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi f(x_i) dan lebar subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang tersebut adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

2.      Hampiran Titik Tengah

Untuk menghitung  dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi . Misalkan sub-subinterval adalah . Maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi

dengan

3.      Hampiran Jumlah Kanan

Untuk menghitung  dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi f(x_i) dan lebar subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang tersebut adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi

 dengan

B.  Aturan Simpson 1/3

Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi berderajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah dibawah parabola. Untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data misalkan (0,f(0)),(h,f(h)) dan (2h,f(2h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ke 3 titik tersebut adalah

Integrasikan p₂(x) di dalam selang [0,2h]:

 

Mengingat

     

Dan

Maka, selanjutnya

     

 

Persamaan di atas dinamakan kaidah simpson 1/3. Sebutan 1/3 muncul karena di dalam persamaan ini terdapat factor 1/3 (sekaligus untuk membedakannya dengan kaidah simpson yang lain yaitu simpson 3/8).

Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi [a,b] kita bagi menjadi n+1 buah itik diskrit x₀,x₂,….,x_n, dengan n genap, dan setiap tiga buah titik (atau 2 pasang upaselang)di kurva dihampiri dengan parabola (polinom interpolasi derajat 2), maka kita akan mempunyai n/2 potongan parabola. Bila masing2 polinom derajat 2 tersebut kita integralkan di dalam upselang (subinterval) integrasinya, maka jumlah seluruh integral tesebut membentuk Kaidah simpson 1/3 gabungan

Pesamaan ini mudah di hafalkan dengan mengingat pola koefisien suku-sukunya 

            1,4,2,4,2,….,2,4,1

Namun penggunaan kaidah 1/3 simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapezium, yang tidak mempunyai persyaratan mengenai jumlah selang.

Galat Kaidah Simpson 1/3

      Galat kaidah simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah

Uraikan f(x),f₁,dan f₂ masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x₀

Sulihkan persamaan ke-2 kedalam persamaan pertama :

           

Jadi, kaidah simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah :

 

                                             , a < t < b

 

                                                , karena n = (b-a)/h

 

Jadi, kaidah simpson 1/3 gabungan ditambah galatnya dapat dinyatakan sebagai,

Dengan kata lain, kaidah simpson 1/3 gabungan berorde 4. Dibandingkan dengan kaidah trapezium gabungan, hasil integrasi dengan kaidah simpson gabungan jauh lebh baik, karena orde galatnya lebih tinggi. Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah simpson 1/3 tidak dapat diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil.

C.  Aturan Simpson 3/8

Seperti halnya pada kaidah simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tingi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah dibawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola. Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik2 tersebut (0,f(0)),(h,f(h)),(2h,f(2h)) dan (3h,f(3h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui ke empat buah titik itu adalah

Integrasi p₃(x) di dalam selang [0,3h] adalah,

Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah simpson 1/3, diperoleh

Yang merupakan kaidah simpson 3/8.

Galat kaidah simpson 3/8 adalah

        ,  0 < t < 3h

Jadi, kaidah simpson 3/8 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Sedangkan kaidah simpson 3/8 gabungan adalah

Persamaan di atas mudah dihapalkan dengan mengingat pola suku sukunya :

1, 3, 3, 2,     3, 3, 2,    3, 3, 2, …. , 2, 3, 3, 1

Namun penggunaan kaidah simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus kelipatan tiga.

Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah

 

Jadi, kaidah simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah simpson 1/3. Namun dalam praktek, kaidah simpson 1/3 biasanya lebih di sukai dari pada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan simpson 1/3

D.    Metode integrasi numeric untuk h yang berbeda beda

Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a,b] tidak seragam. Beberapa titik data mempunyai jarak h₁, beberapa titik data yg lain h₂, sedangkan sisanya berjarak h₃. Integrasi numeric dalam selang [a,b] dilakukan dengan mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah trapezium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson. Berdasarkan orde galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti daripada kaidah trapezium. Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan apabila jumlah upaselang yang bertetangga genap, sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah upaselang yang bertetangga ganjil dan kelipatan 3. Sisanya dihitung dengan kaidah trapezium. Jadi, tata-ancangnya dapat diringkas sebagai berikut :

a.       Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap, gunakan kaidah 1/3 simpson.

b.      Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga, gunakan kaidah 3/8 simpson

c.       Untuk sejumlah upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya, gunakan kaidah trapezium.

Contoh :

Empat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 1/3 (karena jumlah upaselang genap). Tiga buah upaselang berikutnya berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena jumlah upaselang kelipatan 3). Dua buah upaselang berikutnya masing masing berbeda lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapezium.

E.      Bentuk Umum Metode Newton-Cotes

            Kaidah trapezium, kaidah simpson 1/3 dan kaidah simpson 3/8 adalah 3 buah metode integrasi numeric pertama dari metode Newton-Cotes. Masing masingnya menghampiri fungsi f(x) dengan polinom I nterpolasi derajat 1 (lanjar), derajat 2 (kuadratik), dan derajat 3 (kubik). Kita dapat menemukan kaidah kaidah lainnya dengan menggunakan polinom interpolasi derajat 4,5,6 dan seterusnya.

Bentuk umum metode Newton-Cotes dapat di tulis sebagai :

Dalam hal ini  dan , E menyatakan galat, sedangkan  dan  adalah konstanta riil.

PROGRAM MATLAB

Menghitung integral  dengan metode:

A.    ATURAN TRAPESIUM

1.      Hampiran Jumlah Kiri (Metode Persegi)

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRAL

clc;

clear;

disp('PROGRAM METODE PERSEGI KIRI');

disp('PROGRAMER :  KELOMPOK II ')

a=0;

b=10;

n=10000000;

    l=(b-a)/n;

t=0;

for i=1:n;

    p=i*l-l;

    p=p^2;

    luas=p*l;

    t=t+luas;

end

t     

Output:

PROGRAM METODE PERSEGI KIRI

PROGRAMER :  KELOMPOK II

t =

  333.3333

2.      Hampiran Titik Tengah(Metode Persegi Tengah)

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRAL

clc;

clear;

disp('PROGRAM METODE PERSEGI  TENGAH');

disp('PROGRAMER :  KELOMPOK II ')

a=0;

b=10;

n=10;

l=(b-a)/n;

t=0;

for i=1:n;

    pkiri=i*l-l;

    pkiri=pkiri^2

    pkanan=i*l;

    pkanan=pkanan^2;

    luas=l*(pkiri+pkanan)/2;

    t=t+luas;

end

t

3.      Hampiran Jumlah Kanan(Medode Persegi Kanan)

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRAL

clc;

clear;

disp('PROGRAM METODE PERSEGI KANAN');

disp('PROGRAMER :  KELOMPOK II ')

a=0;

b=10;

n=10000000;

l=(b-a)/n;

t=0;

for i=1:n;

    p=i*l;

    p=p^2;

    luas=p*l;

    t=t+luas;

end

t

Output:

PROGRAM METODE PERSEGI KIRI

PROGRAMER :  KELOMPOK II

t =

  333.3333

B.     ATURAN SIMPSON

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRAL

clc;

clear;

disp('PROGRAM METODE PERSEGI  TENGAH');

disp('PROGRAMER :  KELOMPOK II ')

a=0;

b=10;

n=8;

t=(b-a)/n;

total=0;

for i=1:n

    pkiri=i*t-t;

    pkanan=i*t;

    ptengah=(pkiri+pkanan)/2;

    pkiri=pkiri^2;

    pkanan=pkanan^2;

    ptengah=ptengah^2;

    luas=(t*(pkiri+2*ptengah+pkanan))/4;

    total=total+luas;

end

total

Output:

            total =

                         333.9844

BAB III

PENUTUP

Adapun kesimpulan dari pembahasan makalah ini adalah

Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:

           

1.      Hampiran Jumlah Kiri

Secara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu variabel. Untuk menghitung menghitung  dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi f(x_i) dan lebar subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang tersebut adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

2.      Hampiran Titik Tengah

Untuk menghitung  dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi . Misalkan sub-subinterval adalah . Maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

3.      Hampiran Jumlah Kanan

Untuk menghitung  dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [x_i,x_i+1] sedemikian hingga

·         Buat persegi panjang pada [x_i,x_i+1] dengan tinggi f(x_i) dan lebar subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang tersebut adalah .

·         Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak hampiran integral yang diinginkan.

Dan menghitung integral dengan menggunakan aturan simpson yaitu dengan cara:

·         Aturan simpson 1/3

·         Aturan simpson 1/8