PRAKATA
Bismillahirrahmannirahim.
Alhamdulillah, segala puji dan Syukur
penulis panjatkan ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan dan
kesabaran kepada penulis sehingga dapat
menuntaskan makalah ini dari awal sampai akhir. Shalawat serta salam semoga
senantiasa tercurahkan kepada Baginda Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan
sahabatnya, karena atas jasa beliaulah kita semua menjadi masyarakat yang
bermoral dan berilmu pengetahuan.
Makalah ini di maksudkan untuk memenuhi salah satu tugas perkuliahan pada
jurusan MATEMATIKA di STKIP Kusuma Negara Jakarta kampus
Tigaraksa. Dalam mata kuliah Perencanaan
dengan judul “Berpikir Matematika”.
Penulis menyadari bahwa
penyusunan makalah ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak, oleh karena itu penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang setinggi
tingginya kepada:
1.A. Supriyatna,
M.M, M.Pd. Selaku pengurus dan penasehat
akademik STKIP Kusuma Negara jakarta
kampus Tigaraksa.
2.Sumantri
M.Pd. Selaku Dosen pembimbing mata kuliah Perencanaan
3.Yang tercinta Ayahanda
dan Ibunda,yang telah memberikan
do’a dan dukungannya.
4.Rekan-rekan Mahasiswa/i
STKIP Kusuma Negara, yang telah membantu dan memberi dukungannya.
Kritik dan saran yang bersifat membangun
penulis harapkan dari berbagai pihak agar kedepannya tercipta karya -karya
ilmiah yang lebih profesional.Akhirnya penulis berharap semoga makalah ini
dapat bermanfaat bagi pembaca umumnya
dan penulis khususnya . Semoga Allah SWT
selalu membrikan rahmat dan hidayahnya kepada kita semua.Amin.
Tigaraksa, desember 2014
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR........................................................................................................... ii
DAFTAR ISI........................................................................................................................ iii
BAB I PENDAHULUAN...................................................................................................... 1
A. Latar Belakang........................................................................................................... 1
B. Tujuan......................................................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN....................................................................................................... 2
A. karakteristik Berpikir matemtika................................................................................ 2
B. Subtansi Berpikir Matematika.................................................................................... 4
C. Aliran Matematika...................................................................................................... 6
BAB III PENUTUP.............................................................................................................. 9
A.
Kesimpulan.............................................................................................................. 9
B.
Saran....................................................................................................................... 9
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Untuk
melakukan kegiatan ilmiah secara baik diperlukan sarana berpikir. Tersedianya
sarana tersebut memungkinkan dilakukannya penelaahan ilmiah secara teratur dan
cermat. Penguasaan sarana berpikir ilmiah ini merupakan suatu hal yang bersifat
imperatif bagi seorang ilmuwan. Tanpa menguasai hal ini maka kegiatan ilmiah
yang baik tak dapat dilakukan. Pada dasarnya sara ilmiah merupakan alat yang
membantu kegiatan ilmiah dalam berbagai langkah yang harus ditempuh.
Untuk
dapat melakukan kegiatan berpikir ilmiah dengan baik maka diperlukan sarana
yang berupa bahasa, logika, matematika dan statistika. Kemampuan berpikir
ilmiah yang baik harus didukung oleh penguasaan sarana berpikir dengan baik
pula. Salah satu langkah ke arah penguasaan itu adalah mengetahui dengan benar
peranan masing-masing sarana berpikir tersebut dalam keseluruhan proses
berpikir ilmiah.
Pada
makalah ini, berdasarkan tugas yang diberikan kami hanya membahas sarana matematika
B. Tujuan
Untuk memungkinkan kita
melakukan penelaahan ilmiah secara baik dengan menggunakan sarana berpikir
matematika
BAB II
PEMBAHASAN
BERPIKIR MATEMATIKA
Menurut Henningsen dan Stein (1997, h. 525),
kemampuan berpikir matematik tingkat tinggi pada hakekatnya merupakan kemampuan
berpikir non-prosedural yang antara lain mencakup hal-hal berikut: kemampuan
mencari dan mengeksplorasi pola untuk memahami struktur matematik serta
hubungan yang mendasarinya; kemampuan menggunakan fakta-fakta yang tersedia secara efektif dan tepat untuk
memformulasikan serta menyelesaikan masalah;kemampuan membuat ide-ide matematik
secara bermakna; kemampuan berpikir dan bernalar secara fleksibel melalui
penyusunan konjektur, generalisasi, dan jastifikasi; serta kemampuan menetapkan
bahwa suatu hasil pemecahan masalah bersifat masuk akal atau logis.
A. Karakateristik Berpikir Matematika
Menurut Katagiri (2004) bahwa
karakteristik berpikir matematika dibagi menjadi empat karakteristik yaitu
fokus kepada himpunan, berpikir bergantung pada tiga variabel, pemahaman denotatif
dan berpikir matematika sebagai kekuatan pendorong dibelakang pengatahuan dan
keterrampilan. Karakteristik berpikir matematik ini merupakan cara yang
mendasar dalam memahami jenis berpikir
matematika yang ada. Dengan memahami karakteristik berpikir matematika berarti
dia telah memiliki pemahaman matematik yang kuat.
1. Fokus kepada himpunan
Menurut Lipschutz (1981) bahwa
konsep yang paling mendasar di semua cabang matematika adalah himpunan.
Himpunan adalah semua/sesuatu daftar yang didefinisikan dengan baik berupa
kumpulan, atau kelas dari objek. Missal objek dalam himpunan adalah bilngan,
orang, surat, sungai, dll. Objek-objek tersebut dinamakan elemen atau anggota
dari himpunan.
Fokus pada himpunan merupakan
suatu sikap dalam berpikir matematika. Jadi orang yang bersikap fokus pada
himpunan, berarti dia telah berusaha menganalogikan, membatasi dan memenuhi
peraturan matematika pada cara berpikirnya. Jika seseorang tidak fokus pada
himpunan/kurang fokus, dapat dijamin bahwa cara berpikir matematikanya adalah
sangat lemah.
2. Berpikir bergantung pada tiga variabel
Menurut Katagiri (2004) bahwa
berpikir matematika itu tidak bergantung pada masalah atau situasi saja, akan
tetapi bergantung pada masalah (situasi), orang yang terlibat dan strategi.
Ketiga komponen tersebut merupakan variabel yang mutlak dalam berikir
matematika. Orang yang cerdas dalam berpikir matematika bisa dikatakan orang
yang paham terhadap masalah (situasi) dan dia berusaha melibatkan diri pada
masalah tersebut dalam situasi yang ada serta memiliki strategi/ pendekatan
yang tepat guna memecahkan masalah.
3. Pemahaman denotatif (makna sebenarnya)
Menurut Katagiri (2004) bahwa
suatu konsep terdiri dari komponen baik konotatif dan denotatif. Salah satu
metode yang menjelaskan konsep berpikri matematika adalah metode yang jelas
mengekspresikan makna konotatif. Makna konotatif dalah makna kiasan. Boleh kita
menyebutnya sebagai jembatan untuk memhamai makna sebenarnya.
Menurut kamus bahasa Indonesia
(Yandianto, 2001) arti kata denotatif adalah makna sebenarnya/sesungguhnya.
Atau bisa dikatakan makna secara harfiah murni. Jika dikaitkan dengan berpikir
matematika bisa dikatakan bahwa denotatif itu adalah penerjemahan berdasarkan
kesepakatan, definisi, konsep, aksioma, postulat, teorema dll.
Jadi dalam berpikir matematika,
pemahaman denotatif merupakan hal yang dibenarkan. Untuk pemahaman konotatif
hanya sebagai pembantu/jembatan menuju pemahaman denotatif.
4. Berpikir matematika adalah kekuatan
pendorong di belakang pengetahuan dan keterampilan
Berpikir Matematika bertindak
sebagai kekuatan penuntun yang memunculkan pengetahuan dan keterampilan, dengan membantu menyadari bahwa pengetahuan
yang diperlukan atau keterampilan itu sangat penting untuk memecahkan setiap masalah
yang dihadapi. Hal ini juga harus dilihat sebagai kekuatan pendorong di
belakang pengetahuan dan keterampilan. Ada lagi jenis pemikiran matematika yang
bertindak sebagai motor penggerak untuk memunculkan kekuatan jenis berpikir
matematika lainnya bahkan lebih diperlukan. Hal ini disebut sebagai sikap
matematika.
B. Substansi Berpikir Matematika
Sangat penting untuk mencapai
pemahaman denotatif sebagai beton berpikir matematika, berdasarkan pemikiran
mendasar yang diuraikan pada karakteristik berpikir matematika. Mari kita daftarkan berbagai jenis berpikir
matematika. Pertama, berpikir matematika dapat dibagi menjadi tiga kategori yaitu
(II) berpikir matematika terkait dengan metode matematika, (III) berpikir
matematika terkait dengan Isi matematika. Selain itu, tindakan-tindakan berikut
sebagai kekuatan pendorong di belakang kategori tersebut adalah (I) sikap
matematika.
Meskipun kebutuhannya berdasarkan
kategoritersebut, pertimbangan lebih lanjut seperti yang dijelaskan di bawah
ini akan mengungkap fakta bahwa sangat
tepat untuk membagi berpikir matematika ke II dan III.
Berpikir matematika digunakan
dalam kegiatan matematika, dan karena itu erat berhubungan dengan isi dan
metode aritmatika dan matematika. Misalnya, berbagai metode yang berbeda
diterapkan ketika aritmatika atau matematika digunakan untuk melakukan kegiatan
belajar matematika, bersama dengan berbagai jenis isi matematika. Lebih tepatnya bahwa semua metode dan jenis
isinya adalah jenis berpikir matematika.
Hal ini disebabkan bahwa cara berpikir matematika terdiri dari metode dan jenis isinya memiliki
arti. Mari kita fokus pada jenis isi dan metode matematika seperti yang kita
ketahui dalam berpikir matematika dari
kedua sudut. Sebagai alasannya, tiga kategori logis dapat urutkan.
Kategori-kategori tersebut menurut Kagiri (2004) adalah sebagai berikut.
1. Sikap matematika
a. Mencoba untuk memahami masalah
sendiri atau tujuan atau substansi dengan jelas, oleh diri sendiri
b. Mencoba untuk
mengambil tindakan logis
c. Mencoba untuk
mengekspresikan materi dengan jelas dan ringkas
d. Mencoba untuk
mencari hal yang lebih baik
2. Berpikir matematika terkait dengan metode
matematika
a. Berpikir
induktif
b. Berpikir
analogis
c. Berpikir
deduktif
d. Berpikir
integratif
e. Berpikir
pengembangan
f. Berpikir
abstraktif
g. Berpikir yang
sederhana
h. Berpikir yang
meluas
i. Berpikir
yang khas
j. Berpikir
yang melambangkan
k. Berpikir yang
mengekspresikan angka, kuantitas dan bentuk (gambaran)
3. Berpikir matematika terkait dengan isi
matematika
a. Memperjelas objek
himpunan untuk dipertimbangkan dan objek untuk dikeluarkan dari himpunan, serta
mengklarifikasi kondisi untuk dimasukkan (ide himpunan)
b. Fokus pada
elemen konstituen (unit) dan ukuran serta hubungan (Ide unit)
c. Mencoba untuk berpikir berdasarkan
prinsip-prinsip dasar ekspresi (Ide ekspresi)
d. Memperjelas dan
memperluas makna suatu hal dan operasi, dan mencoba untuk berpikir berdasarkan
ide operasi
e. Mencoba untuk
merumuskan metode operasi (Ide dari algoritma)
f. Mencoba untuk memahami
gambaran besar dari objek dan operasi, dan menggunakan hasilnya untuk pemahaman
(Ide dari pendekatan)
g. Fokus pada
aturan dasar dan sifat (Ide dari sifat dasar)
h. Mencoba untuk fokus pada apa yang ditentukan oleh keputusan
seseorang, menemukan aturanhubungan antara variabel, dan menggunakan
sesuatu/hal yang sama (Berpikir Fungsional)
i. Mencoba untuk mengekspresikan proposisi dan hubungan sebagai
formula, dan untuk mengetahui tujuan (Ide formula)
C. Aliran dalam Matematika
1.
Formalisme
Formalis seperti David
Hilbert (1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak
kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan
permainan dengan rangkaian tanda –tanda lingistik, seperti huruf-huruf dalam alphabet
Bahasa Inggeris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, II atau
SS0. Pada saat kita membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara
matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang
perluasan makna (Anglin, 1994). Formalis memandang matematika sebagai suatu
permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas,
yang mengikuti aturan (Ernest, 1991).
Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu
1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak
dapat ditafsirkan sebarangan, Kebenaran matematika disajikan melalui
teorema-teorema formal.
2. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya
dari ketidak Konsistenan
Ada bermacam keberatan terhadap formalisme, antara lain;
(1) formalis dalam memahami
obyek matematika seperti lingkaran, sebagai sesuatu yang kongkrit, padahal
tidak bergantung pada obyek fisik;
(2) formalis tidak dapat menjamin permainan
matematika itu konsisten.
Keberatan tersebut dijawab formalis
bahwa
(1) lingkaran dan yang lainnya adalah
obyek yang bersifat material dan
(2) meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan
kadang-kadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994).
2. Intuisionisme
Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer
(1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia.
Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada
apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis
menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk
matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara
eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui
kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima
kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin,
1994).
Intuisionisme mengaku memberikan suatu
dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara
mental) dari aksioma-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan
metode yang aman dalam pembuktian Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang Eksklusif
pada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang Diakui diberikan
intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata
(Ernest, 1991).
Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain;
(1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek
matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4;
(2) matematisi intusionisme adalah manusia timpang yang buruk dengan
menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka
hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini.
Intusionisme, menjawab
keberatan tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia
untuk mencoba membayangkan suatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki
sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki
sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).
3.
Logisisme
Logisisme memandang bahwa matematika
sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege
(1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Pengakuan
Bertrand Russell menerima logisime adalah yang paling jelas dan dalam rumusan
yang sangat ekspilisit. pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu (1) semua
konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika; (2)
semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui
penarikan kesimpulan secara logika semata (Ernest, 1991).
Menurut Ernest (1991), ada beberapa
keberatan terhadap logisisme antara lain:
1. Bahwa pernyataan matematika sebagai
impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma
sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini
mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat
dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
2. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel
menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua
kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma
matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran
matematika.
3. Kepastian dan keajegan logika
bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi.
Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan
kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu
untuk pengetahuan matematika.
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
karakteristik berpikir matematika
dibagi menjadi empat karakteristik yaitu fokus kepada himpunan, berpikir
bergantung pada tiga variabel, pemahaman denitatif dan berpikir matematika
sebagai kekuatan pendorong dibelakang pengatahuan dan keterrampilan.
Berpikir matematika dapat dibagi
menjadi tiga kategori yaitu (II) berpikir matematika terkait dengan metode
matematika, (III) berpikir matematika terkait dengan Isi matematika. Selain
itu, tindakan-tindakan berikut sebagai kekuatan pendorong di belakang kategori
tersebut adalah (I) sikap matematika.
Ada tiga aliran dalam matematika
yaitu formalism, Intuisionisme, dan
logisisme.
B. SARAN
Dalam kehidupan sehari-hari kita
sering menemukan masalah, sebaiknya kita menyelesaikan masalah-masalah tersebut
dengan berpikir matematika apabila masalah tersebut bisa ditarik kedalam bentuk
matematika.
DAFTAR PUSTAKA
Katagiri, Shigeo. (2004). Mathematical Thinking and How To
Teach It. Tokyo: Meijitosyo Publishers (CRICED, University of Tsukuba)
Lipschutz, Seymour. 1981. Set Theory and Related Topics.
Singapore: McGraw-Hill International Book Company
No comments:
Post a Comment
terima kasih telah berkunjung ke blog saya