MAKALAH TEORI BILANGAN
KEKONGRUENAN
DAN APLIKASINYA
- DEFENISI KEKONGRUENAN
DEFENISI
5.1:
Jika
m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m
[ditulis a ≡ b(mod m)], bila m membagi (a-b).
Jika
m tidak membagi (a-b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan
b modulo m [ditulis a b (mod m)].
|
Contoh
:
25
≡ 1 mod 4
sebab
(a-b) terbagi oleh m, (25-1)= 24 terbagi oleh 4.
Contoh
:
30
≡ 2 mod 7
sebab
(a-b) terbagi oleh m, (30-2)= 28 terbagi oleh 7.
Teorema
5.1.
a
≡ b (mod m)bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a =
mk + b.
|
Bukti:
a
≡ b (mod m)
akan
ditunjukkan bahwa a = mk + b
Dari
defenisi 1 diatas didapat bahwa :
a
≡ b (mod m), bila dan hanya bila m|(a-b).
Karena
m|(a-b), maka m > 0
karena
m|(a-b), maka ada bilangan bulat k, sehingga (a-b) = mk (lihat
teorema 2.1 hal.33)*
Contoh
:
Jika
25 ≡ 4 (mod 7) maka ada bilangan bulat k = 3.
yaitu
25-4 = 7k
21
= 7.3
Jadi
a ≡ b (mod m), bila dan hanya bila a-b = mk, untuk setiap bilangan
bulat k.
Karena
a-b = mk sama artinya dengan a = mk + b,
Atau
dengan kata lain:
a
≡ b (mod m) bila dan hanya bila a = mk + b.
Contoh
:
25
≡ 4 (mod 7), sama artinya dengan 25 = 7.3 + 4, dimana k = 3
Contoh
:
20
≡ 2 (mod 9), sama artinya dengan 20 = 9.2 + 2, dimana k = 2
Teorema
5.2.
Setiap
bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara
0,1,2,3,...,(m-1).
|
Bukti
:
Kita
telah mempelajari bahwa jika a dan m bilangan- bilangan bulat, dan m
> 0, menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai
:
a
= mq + r, dengan 0 ≤ r < m
Ini
berarti bahwa a-r = mq, yaitu a ≡ r (mod m).
Karena
0 ≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu :
0,1,2,3,...,(m-1).
Jadi
setiap bilangan bulat akan kongruen dengan m dengan tepat satu
diantara 0,1,2,3,...,(m-1).
Contoh
:
27
≡ r (mod 6), tentukan r, jika 0 ≤ r < 6.
Jawab
Karena
0 ≤ r < 6, maka pilihan untuk r tepat satu diantara
0,1,2,3,4,5,6. Yaitu 3.
DEFENISI
5.2:
Jika
a ≡ r (mod m) dengan 0 ≤ r < m, maka r disebut residu
terkecil dari
a modulo m. Untuk kekongruenan residu
terkecil
ini, {0,1,2,3,...,(m-1)} disebut himpunan residu
terkecil
modulo m.
|
Contoh
:
Residu
terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1, sebab sisa dari 71:2 adalah 1.
Contoh
:
Residu
terkecil dari 71 modulo 3 adalah 2, sebab sisa dari 71:3 adalah 2.
Contoh
:
Residu
terkecil dari (-53) modulo 10 adalah 7, sebab sisa dari (-53):10
adalah 7 (ingat residu terkecil dari suatu bilangan adalah bilangan
bulat positif).
Contoh
Residu
terkecil dari 34 modulo 5 adalah 4, sebab sisa dari 34:5 adalah 4.
Walaupun
34 ≡ 9 (mod 5), tetapi 9 bukan residu terkecil dari 34 (mod 5),
sebab 9 bukan sisa dari 34:5.
Contoh
:
Himpunan
residu terkecil dari modulo 5 adalah {0.1,2,3,4}.
Himpunan
residu terkecil dari modulo 9 adalah {0.1,2,3,...,9}.
Himpunan
residu terkecil dari modulo 24 adalah {0.1,2,3,...,23}.
Kita
dapat melihat relasi kekongruenan itu dengan cara yang lain, seperti
teorema berikut ini:
Teorema
5.3
a
≡ b (mod m) bila dan hanya bila a dan b memiliki sisa yang sama
jika dibagi m.
|
Bukti
:
Akan
dibuktikan dari dua sisi,
Pertama,
jika
a ≡ b (mod m), maka akan ditunjukkan bahwa a dan b memiliki sisa
yang sama jika dibagi m.
Karena
a ≡ b (mod m), maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m), dengan r
adalah residu terkecil modulo m atau 0 ≤ r < m. Selanjutnya,
a
≡ r (mod m), berarti a = mq + r, dan
b
≡ r (mod m), berarti b = mt + r, untuk suatu bilangan bulat q dan
t, sehingga dapat disimpulkan bahwa a dan b memiliki sisa yang sama
jika dibagi m. (Terbukti!)
Kedua,
jika
a dan b memiliki sisa yang sama, maka akan ditunjukkan
a ≡ b (mod m).
Misalkan:
a
memiliki sisa r jika dibagi m, berarti a ≡ mq + r, dan
b
memiliki sisa r jika dibagi m, berarti b ≡ mt + r, untuk suatu
bilangan bulat q dan t,
dari
kedua persamaan ini diperoleh :
(a-b)
= (mq – mt) + (r-r)
(a-b)
= m(q – t)
Karena
q dan t adalah suatu bilangan bulat, maka (q-t) adalah suatu bilangan
bulat,
menurut
teorema 2.1 hal.33*
berarti bahwa :
m|(a-b)
atau a ≡ b (mod m). (Terbukti!)
Menurut
teorema-teorema terdahulu, ungkapan-ungkapan berikut mempunyai arti
yang sama, yaitu :
1.
n
≡ 7(mod 8)
2.
n
= 7 + 8k
3.
n
dibagi 8 bersisa 7.
DEFENISI
5.3
Himpunan
bilangan bulat {r1,
r2,
r3,...,
rm}
disebut sistim
residu lengkap
modulo m, bila setiap elemennya kongruen modulo m, dengan satu dan
hanya satu dari 0,1,2,...,(m-1).
|
Contoh
:
Himpunan
{45,-9,12,-22,24} adalah sistim residu lengkap dari modulo 5, dapat
diperiksa bahwa :
45
≡ 0(mod 5)
-9
≡ 1(mod 5)
12
≡ 2(mod 5)
23
≡ 3(mod 5)
24
≡ 4(mod 5)
Contoh
:
Himpunan
{0,1,2,3,4} merupakan sistim residu lengkap modulo 5, sekaligus
sebagai himpunan residu terkecil modulo 5.
Contoh
:
Himpunan
{4,3,2,1,0} merupakan suatu sistim residu lengkap modulo 5.
Contoh
:
Himpunan
{5,11,6,1,8,15} bukan merupan sistim tersidu lengkap modulo 6,sebab 5
≡ 11 (mod 6) yang dua-duanya berada dalam himpunan tersebut.
- SIFAT KEKONGRUENAN
“RELASI
EKUIVALENSI”
Apakah
relasi Kekongruenan Modulo suatu bilangan bulat merupakan relasi
ekuivalensi atau tidak ?
Untuk
menjawab pertanyaan diatas, simaklah uraian-uraian berikut!
Kekongruenan
modulo suatu bilangan bulat positif adalah relasi antara
bilangan-bilangan bulat. suatu relasi disebut relasi ekuivalensi jika
relasi itu memiliki sifat reflektif, simetris, dan transitif.
Sekarang
akan ditunjukkan bahwa relasi kekongruenan itu merupakan relasi
ekuivalensi.
Perhatikan
!
Jika
m, a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka
:
a.
a
≡ a (mod m), sifat
reflektif
b.
Jika
a
≡ b (mod m),
maka b
≡ a (mod m),
sifat simetris.
c.
Jika
a
≡ b (mod m)
dan b
≡ c (mod m),
maka a
≡ c (mod m),
sifat transitif.
Bukti
:
a.
Karena
a-a = 0.m, maka a ≡ a (mod m).
b.
Jika
a ≡ b (mod m), maka a-b = k.m, sehingga b-a = (-k).m, yang berarti
bahwa b ≡ a (mod m).
c.
a
≡ b (mod m), berarti a-b = p.m
b
≡ c (mod m), berarti b-c = q.m
untuk
suatu bilangan bulat p dan q, jika kedua persamaan tersebut kita
jumlahkan, maka diperoleh:
a-c
= (p+q).m
karena
p dan q adalah bilangan-bilangan bulat, maka (p + q) bilangan bulat,
sehingga
a
≡ c (mod m).
Karena
relasi “≡” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat memenuhi
ketiga sifat tersebut, yaitu reflekti, simetris, dan transitif, maka
relasi “≡” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat
merupakan relasi ekuivalensi.
(terbukti!).
Karena
relasi kekongruenan pada bilangan bulat merupakan relasi ekuivalensi,
maka akibatnya himpunan bilangan bulat pada kongruen modulo m ini
terpartisi menjadi himpunan-himpunan bagian yang setiap himpunan
bagian disebut kelas.
Contoh
:
Misalnya
kita memperhatikan himpunan bilangan bulat dengan relasi kekongruenan
modulo 5, maka dengan relasi ini himpunan bagian bilangan bulat
terpatisi (terbagi menjadi himpunan-himpunan bagian yang saling
asing, dan gabungannya sama dengan himpunan bilangan bulat) menjadi 5
kelas, yaitu :
[0]
= {...,-10,-5,0,5,10,...}
[1]
= {...,-9,-4,1,6,11,....}
[2]
= {...,-8,-3,2,7,12,....}
[3]
= {...,-7,-2,3,8,13,....}
[4]
= {...,-6,-1,4,9,14,....}
Keterangan
:
Pemberian
nama untuk suatu kelas menggunakan nama salah satu anggota kelas
tersebut, yang dibubuhi tanda “garis diatasnya”, atau dengan
menggunakan tanda “kurung persegi”, seperti contoh diatas.
Relasi
kekongruenan mempunyai kemiripan sifat dengan persamaan, sebab relasi
kekongruenan dapat dinyatakan sebagai persamaan, yaitu a ≡ b (mod
m) sama artinya dengan a = b + km, untuk suatu bilangan bulat k.
Misalnya
:
1.
Jika
a ≡ b (mod m), maka (a + c) ≡ (b + c) (mod m), untuk setiap
bilangan bulat c.
2.
Jika
a ≡ b (mod m), maka ac ≡ bc (mod m), untuk setiap bilangan bulat
c.
Bukti
:
1.
Jika
a ≡ b (mod m), berarti a-b = p.m, atau
a
= pm + b, untuk setiap bilangan bulat p, selanjutnya,
jika
masing-masing ruas ditambahkan dengan bilangan bulat c, maka
diperoleh :
a
+ c = pm + b + c
atau,
(a
+ c) - (b + c)= p.m
Yang
berarti bahwa:
(a
+ c) ≡ (b + c) (mod m).......(Terbukti !)
Contoh
:
Jika
15 ≡ 3 (mod 4), maka :
- 17 ≡ 5 (mod 4),
sebab
15 + 2 = 17, dan 3 + 2 = 5
- 21 ≡ 9 (mod 4),
sebab
15 + 6 = 21, dan 3 + 6 = 9
- 116 ≡ 104 (mod 4),
sebab
15 + 101 = 116, dan 3 + 101 = 104.
- Dan seterusnya.
2.
Jika
a ≡ b (mod m), berarti a-b = p.m untuk setiap bilangan bulat p
selanjutnya,
jika
masing-masing ruas dikalikan dengan bilangan bulat c, maka diperoleh
:
c(a
- b) = c.p.m
atau,
ac
– bc = cp.m
karena
c dan p masing-masing adalah bilangan bulat, maka c.p juga merupakan
suatu bilangan bulat, sehingga diperoleh bahwa :
ac
≡ bc (mod m)....(Terbukti !)
contoh
:
Jika
10 ≡ 2 (mod 4), Maka :
50
≡ 10 (mod 4),
Sebab
10.5 = 50, dan 2.5 = 10
120
≡ 24 (mod 4),
Sebab
10.12 =120, dam 2.12 = 24
Dan
seterusnya.
Teorema
5.4:
Jika
a
≡
b (mod m), dan c ≡ d (mod m), maka ( a + c) ≡ (b + d) (mod m).
|
Bukti
:
Jika
a
≡
b (mod m), dan c ≡ d (mod m), akan dibuktikan bahwa ( a + c) ≡ (b
+ d) (mod m).
Kareana
a ≡ b (mod m), berarti a = s.m + b, untuk suatu bilangan bulat s.
Karena
c ≡ d (mod m), berarti c = t.m + d, untuk suatu bilangan bulat s.
Jika
kedua persamaan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh bahwa :
(a
+ c) = (sm + tm) + (b + d)
(a
+ c) = m(s + t) + (b + d)
(a
+ c) - (b + d) = m.(s + t)
Hal
ini berarti bahwa :
a
+ c) ≡ (b + d) (mod m)
(Terbukti!)
Contoh
:
Jika
20 ≡ 2 (mod 6), dan 25 ≡ 1 (mod 6), maka 45 ≡ 3 (mod 6), sebab
20 + 25 = 45, dan 2 + 1 = 3.
Teorema
5.5
Jika
a
≡
b (mod m), dan c
≡
d (mod m), maka ax + cy ≡ bx + dy (mod m), untuk setiap bilangan
bulat x dan y.
|
Bukti
:
a
≡ b (mod m), berarti a = m.s + b,untuk suatu bilangan bulat s.
c
≡ d (mod m), berarti c = m.t + d, untuk suatu bilagan bulat t.
Jika
kedua ruas persamaan pertama dikalikan dengan x, dan kedua ruas
persamaan kedua dikalikan dengan y, maka diperoleh :
ax
= msx + bx
cy
= mty + dy
Dengan
menjumlahkan kedua persamaan ini, maka diperoleh bahwa :
ax
+ cy = (msx + mty) + (bx + dy)
ax
+ cy = m(sx + ty) + (bx + dy)
(ax
+ cy) - (bx + dy) = m(sx + ty)
persamaan
terakhir ini berarti bahwa :
m
| (ax + cy) - (bx + dy)
sehingga
:
(ax
+ cy) ≡ (bx + dy) (mod m).
(Terbukti
!)
Contoh
:
Jika
21 ≡ 1 (mod 4), dan 16 ≡ 2 (mod 7), maka
(21.3
+ 16.4) ≡ (1.3 + 2.4) (mod 7)
(63
+ 63) ≡ (3 + 8) (mod 7)
126
≡ 11 (mod 7).
“SIFAT
KANSELASI (PENGHAPUSAN)”
Pada
persamaan / kesamaan bilangan bulat berlaku sifat kaselasi
(penghapusan), yaitu :
Misalkan
a,b,dan c bilangan bulat, jika ab = ac, dengan a ≠ 0, maka b = c.
Contoh
:
Jika
3.x = 3.6, maka x = 6
Apakakah
pada kekongruenan berlaku sifat yang mirip dengan sifat kaselasi
(penghapusan) tersebut ?
Misalkan
:
jika
ab ≡ ac (mod m), dengan a ≠ 0
apakah
b ≡ c (mod m) ?
ambil
sebuah contoh :
24
≡ 12 (mod 4)
3.8
≡ 3.4 (mod 4)
8
≡ 4 (mod 4)
Akan
tetepi, bagaimana dengan contoh berikut :
24
≡ 12 (mod 4)
2.12
≡ 2.6 (mod 4)
Apakah
12 ≡ 6 (mod 4)? Jelas tidak, karena 4 tidak membagi (12 – 6)
Dari
kedua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa walaupun sifat kaselasi
(penghapusan) tidak berlaku sepenuhnya pada relasi kekongruenan,
tetapi akan berlaku jika memenuhi syarat seperti yang dinyatakan
dalam teorema berikut :
Teorema
5.6:
Jika
ac ≡ bc (mod m), dengan (c,m) = 1, , maka a ≡ b (mod m).
|
Bukti
:
Jika
ac ≡ bc (mod m), dengan (c,m) = 1, , akan dibuktikan bahwa a ≡ b
(mod m).
Jika
ac ≡ bc (mod m), berarti m | (ac – bc),
atau
m | c(a – b).
Karena
m | c(a – b), dengan (c,m) = 1, maka m | (a – b)
Hal
ini berarti bahwa a ≡ b (mod m).
(Terbukti
!)
Contoh
:
Jika
28.1 ≡ 4.1 (mod 1), maka 28 ≡ 4 (mod 1)
Contoh
:
Tentukan
bilangan-bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan 3y ≡ 1 (mod
7)?
Jawab
:
Karena
1 ≡ 15 (mod 7), maka kita dapat mengganti 1 pada pengkongruenan
tersebut dengan 15, sehigga diperoleh :
3y
≡ 15 (mod 7)
Selanjutnya
karena (3,7) = 1, maka kita dapat membagi 3 pada ruas-ruas
perkongruenan tersebut, Sehingga diperoleh :
y
≡ 5 (mod 7)
berarti:
y
≡ 5 + 7k untuk setiap bilangan bulat k,
atau
dapat dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari pengkongruenan
tersebut adalah {5 + 7k |k bilangan bulat k}.
Kita
dapat menghapus (melenyapkan) suatu faktor dari suatu kekongruenan,
jika faktor tersebut dan bilangan modulonya saling prima, sebaliknya
jika faktor dan bilangan modulonya tidak saling prima, maka kita
harus mengganti bilangan modulonya seperti tampak dalam teorema
berikut :
Teorema
5.7:
Jika
ac ≡ bc (mod m) dengan (c,m) = d,maka a ≡ b (mod m/d).
|
Bukti
:
ac
≡ bc (mod m) berarti m | (ac – bc) atau m| c(a – b), maka m/d |
c/d
(a-b).
Karena
d FPB dari c dan m, maka m/d dan c/d adalah bilangan-bilangan bulat.
Karena
(c,m) = d, maka (c/d , m/d) = 1.
Karena
(c/d , m/d) = 1, dan m/d |
c/d
(a-b),maka :
m/d
|(a-b)
berarti
a ≡ b (mod m/d)
(Terbukti
!)
Contoh
:
Tentukan
x yang memenuhi 2x ≡ 4 (mod 6)
Jawab
2x
≡ 2.2 (mod 6), karena (2,6) = 2, maka :
x
≡ 2 (mod 3)
atau,
x
= 3k + 2, untuk setiap bilangan bulat k.
jadi
nilai-nilai x adalah {3k + 2}, atau dapat dikatakan bahwa himpunan
penyelesaian dari pengkongruenan itu adalah {3k + 2 | k bilangan
bulat}.
- APLIKASI KEKONGRUENAN
Pada kegiatan
belajar yang lalu telah kita pelajari pengertian kekongruenan dan
beserta dengan sifat-sifatnya. Pada kegiatan belajar ini kita akn
mempelajari penggunaan pengertian dan sifat-sifat kekongruenan itu.
Kekongruenan
bilangan modulo 9 dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran perkalian
dan penjumlahan bilangan-bilangan bulat. kita ketahui bahwa:
10000 - 1 = 9999
= 9K1
Sehingga
10000 = 1 (mod 9)
1000 - 1 = 999
= 9K2
Sehingga
1000 = 1 (mod 9)
100 - 1 = 99
= 9K3
Sehingga
100 = 1 (mod 9)
10 - 1 = 9
= 9K4
Sehingga
10 = 1 (mod 9)
Selanjutnya, akan
ditunjukkkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen dengan jumlah
angka-angkanya.
Contoh
:
8234 = 8000 + 200 +
30 + 4 (mod 9)
= 8
(1000) + 2 (100) + 3 (10) + 4 (mod 9)
= 8 (1) + 2
(1) + 3 (1) + 4 (mod 9)
8234
= 17
(mod 9)
Selanjutnya
dengan cara yang sama :
17 = 10 + 7
(mod 9)
=
1 + 7 (mod 9)
=
8 (mod 9)
Sehingga
dapat disimpulkan bahwa 8234 = 8 (mod 9)
Uraian
contoh soal diatas secara umum dinyatakan sebagai teorema-teorema
berikut :
Teorema
5.8
10n
= 1 (mod 9) untuk n = 0,1,2,3 …
Teorema
5.9
Setiap bilangan
bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.
Contoh
:
Periksalah
kebenaran penjumlahan berikut ini dengn prinsip diatas.
248 + 324 + 627 =
1244
Jawab
:
248
≡ 2 + 4 + 8 (mod 9)
≡
14 (mod 9)
≡
5 (mod 9)
324
≡ 3 + 2 + 4 (mod 9)
≡
9 (mod 9)
≡
0 (mod 9)
627
≡ 6 + 2 + 7 (mod 9)
≡
15 (mod 9)
≡
6 (mod 9)
Jadi,
248 + 324 + 627 ≡ 50 + 6 (mod 9)
≡ 11 (mod 9)
≡ 2 (mod 9)
……………….. (i)
Sedangkan 1244
≡ 1 + 2 + 4 + 4 (mod 9)
≡ 11(mod 9)
≡ 2 (mod 9)
………………. (ii)
Dari
kekongruenan (i) dan (ii) berarti : 248 + 324 + 627 = 1244 (benar)
Jika
a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m)
Contoh
:
Untuk
yang terbagi 9,
10+11=30
Kita mengetahui
bahwa10 + 11 ≡ 3 (mod 9) dan 30 ≡ 3 (mod 9)
Menurut cara
pemeriksaan diatas 10 + 11 = 30 benar.
Tetapi kita
mengetahui bahwa 10 +11 = 30 salah
Selain itu
kekongruenan modulo 9 digunakan untuk menguji keterbagian suatu
bilangan bulat oleh 9. Suatu bilangan terbagi oleh 9 apabila dan
hanya bila sisa pembagian itu nol.
n ≡ a (mod 9)
apabila dan hanya apabila n dan a masing-masing mempunyai sisa yang
sama jika dibagi 9. Jadi, jika n ≡ a (mod 9) maka n terbagi oleh 9,
apabila dan hanya apabila terbagi oleh 9. Padahal n kongruen modulo 9
dengan jumlah angka-angkanya.
Jadi, suatu bilangan
terbagi oleh 9 apabila dan hanya apabila jumlah angka-angkanya
terbagi oleh 9.
Contoh
:
(i)
7585 ≡
7 + 5 + 8 + 75 ≡ 27 ≡ 9 (mod 9)
Karena
9│9 maka 9 │7587
(ii)
47623
≡ 4 + 7 + 6 + 2 + 3 ≡ 22 ≡ 4 (mod 9)
Karena 9│4 maka 9
│47623
Suatu
bilangan terbagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya
terbagi oleh 3.
Contoh:
5134216
terbagi oleh 4, sebab 16 (2 angka terakhir) terbagi oleh 4.
Dengan cara yang
mirip dengan keterbagian oleh 4, turunkanlah suatu aturan keterbagian
suatu bilangan pada 8.
Suatu bilangan
terbagi oleh 8 apabila dan hanya apabila bilangan yang dinyatakan
oleh 3 angka terakhir dari bilangan itu terbagi oleh 8.
Contoh:
17256
terbagi oleh 8, sebab 256 (3 angka terakhir) terbagi oleh 8.
Berikut
ini dipelajari keterbagian suatu bilangan oleh 11.
jika n = ak,
ak-1,
ak-2,
… a1
a0
maka n terbagi oleh 11 bila dan hanya bila
((a0
+ a2
+ a4
+ … ) – (a1
+ a3
+ a5
+ … )) terbagi oleh 11
Contoh:
1).
180829
terbagi oleh 11 karena (9 + 8 + 8) – (2 + 0 + 1) = 22 terbagi oleh
11
2).
29183
terbagi oleh 11 karena (3 + 1 + 2) – (8 + 9) = -11 terbagi oleh 11.
Selain
penggunaan diatas, kekongruenan dapat digunakan untuk masalah-masalah
seperti berikut ini.
Tentukan
sisa, jika 2050
dibagi 7 ?
20 ≡
-1 (mod 7)
2050 ≡
(-1)50
(mod 7)
2050 ≡
1 (mod 7)
Jadi,
2050
:
7 bersisa 1.
good
ReplyDelete